学数学到底有什么用?

文字:供稿:胡嘉宁/MOOC图片:时间:2018-09-11点击数:1419

 

 

如果有人不相信数学是简单的,那是因为他们没有意识到人生有多复杂。

——冯•诺依曼

1

诺贝尔为什么没有数学奖?

诺贝尔曾有一个比他小13岁的女友,后来他的女友和一个数学家私奔了,诺贝尔对此事一直耿耿于怀,后来一生未曾结婚,所以不设数学奖。——这只是个传闻。

真正的原因是:在诺贝尔那个时代,数学还不是主要的学科,数学还没有得到重大的发展。

1950年,纳什在28页的博士论文中提出一个重要概念:“纳什均衡”,成为博弈论的重要突破。1994年,他和其他两位博弈论学家共同获得了诺贝尔经济学奖。

纳什最重要的数学成就是在微分几何和偏微分方程的领域,一位著名几何学家评价到:“他在几何学所做的,从我看来,比起他在经济学所做的无可比拟地伟大得多,相差很多个数量级。”

诺贝尔经济学奖从1969年至2010年,共34获奖者51人,除了哈耶克,几乎全都用到了数学工具;一半以上获奖者有深厚数学功底,还有少数本身就是数学家。

大部分诺贝尔物理学奖、化学奖、医学奖得主也有着数学功底。

现在数学被称为“科学之王”。

 

2

首先我们得承认,我们在学校里学到的大部分数学知识,其实都是没有用的。回想一下你的生活,你买菜的时候真的用上一元二次方程了吗?你这辈子有几次用到了余切函数和微积分呢?

我国的数学教学方法也有很大的问题。如陈方正在《继承与叛逆:现代科学为何出现于西方》中所言:

中国与西方数学的根本差别,即前者只重程序(即所谓‘法’),而不讲究直接、详细、明确的证明(即所谓‘义’)

 

杂志《新科学家》中有一句话:

Mathematics is a discovery rather than an invention

数学不是发明而是发现

 

数学家恽之玮在一次采访中说:

奥数的答案是知道的,数学科研的答案是不知道的,是探索的过程。真正的数学并不是在规定的时间快速给出答案。

 

2005年,温家宝总理在看望钱学森的时候,钱老感慨说:“这么多年培养的学生,还没有哪一个的学术成就,能够跟民国时期培养的大师相比。”钱老又发问:“为什么我们的学校总是培养不出杰出的人才?”

被认作中国十大国际友人的英国人李约瑟,他所提出的“李约瑟难题”,从开始至现在,由中国到世界,都充满了争论。

其主题是:“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献,但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生?”

钱学森之问与李约瑟难题一脉相承,都是对中国科学的关怀。

 

3

既然学了也用不到,我们为什么要学数学呢?

数学是一种语言,数学符号于数学家就相当于代码于程序员。

 

伦敦大学的计算神经科学家和物理学家卡尔•弗里斯顿说:

数学具备简洁、直接和齐整的特性,所以如果你把它看作一种语言的话,它比其他任何语言都更适合用来描述这个世界。从海豚到菌类生物,在进化的过程中,都在用数学的方式理解这个世界,解读它的规则和逻辑,以便自己能够存活下来。

 

数学家斯坦尼斯拉斯•德阿纳,做了一个实验,他邀请15个职业数学家和15个非数学领域的学者,边思考问题,边接受脑部扫描,然后他发现,当数学们思考数学问题的时候,他们脑部的某些区域是有特殊连接的。

也就是说,数学家一旦学会了数学的符号语言之后,就不会用普通的语言去思考数学问题了。

举个简单的例子:老板对你说:“你这周迟到很多!”,你心里肯定想:妈的,我这周就迟到3次,哪有很多呀,小张也迟到3次呀!

“很多”和“3”,定性和定量的分野。

普通人眼里的机会,在数学眼里是概率。

这里所谓的“语言”只是个类比,哈佛认知科学家戴维•帕金斯称其为思维程序(Mindware),Kenneth Craik称其为心智模式(Mental Model),查理芒格称其为思维模型(Thinking Model

而我们大部分人的工作与数学无关,所以什么样的数学知识可以帮助我们呢?

 

4

著名数学家乔丹•艾伦伯格把数学知识分成了四个象限:

  • 在简单-浅显这个象限,我们有1+2=3这样比较基础的算术题,内容也不那么深奥。还比如三角函数sin2x=2sinxcosx,这些数学知识看起来复杂,但它们在概念上并没有多大的理解难度
  • 在复杂-浅显这个象限,我们有两位数的乘法、复杂定积分的运算。如果有了计算机,你其实并不需要耗费时间计算那么多位乘法运算,我们在学校要花费大量的时间学习解题技巧,其实对于理解数学的美并没有帮助,相反可能还让我们对数学倒了胃口。即使解决了这些问题,我们也不会因此更加了解我们所在的这个世界。
  • 在复杂-深奥这个象限,则是专业从事数学研究的人需要投入大量时间的地方。这里有众多大名鼎鼎的定理和猜想,黎曼假设,费马大定理,庞加莱猜想,哥德尔定理等。这些定理内涵丰富,具有重要的意义,表现出令人窒息的美感,这些定理残酷无情又无懈可击,人们围绕他们写就了一本本专著。我等普通人可能只能在门口瞄一眼,里面的世界我们根本不清楚。

前三个象限的数学知识对我们来说或者太容易,或者太难,或者太繁琐,都不需要我们特别留意。

最值得学习的是简单-深奥这个象限的数学知识。这些知识都是入门的知识,但却违反了我们的直觉,需要我们更缜密的推理,如对随机性的理解、对回归的理解等。这些数学思想都与我们的生活产生直接联系,为我们带来益处,其应用将远远突破我们的数学的既有理解,它们是常备工具,只要应用得当,就可以避免我们犯错。

 

吴军博士在《数学之美》中这样描述:

牛顿曾经说过,“真理在形式上从来都是简单的,而不是复杂和含混不清的”,数学之美也体现在这里。如果你能拿数学工具来解决问题,那么不管你的方法多复杂,这里面的基本思想都应格是简单的。

 

查理芒格也说过:

最好且最实用的智慧是最基本的学术智慧,但有一个相当重要的前提:必须从多元学科的角度来思考。

 

在生活中应时常运用大学一年级基础学科中所有易学好懂的概念,如果达到自如运用的境界,就能提出解决问题的多种方法。

 

5

克劳塞维茨说过:“数学就是常识的衍生物。”

数学如果脱离了常识的帮助,就变成了循规蹈矩地生搬书本知识,不会产生任何有益的结果。

正如1947年冯·诺依曼在他的论文《数学家》(The Mathematician)中发出的警告:

 

如果数学这门学科逐步偏离现实生活的经验,并且渐行渐远,以至于第二代和第三代数学人无法在“现实生活”中萌生某种想法并直接受到启迪,那么我们将面非常严重的威胁,它会在唯美的道路上越走越远,演变成“为了艺术而艺术”,如果周围的相关学科仍然与经验有着密切的联系,或者某位鉴赏能力超强的人可以对数学产生影响,那么发生这种情况未必是件坏事。但是数学这种发展势头几乎没有受到任何阻力,而且在偏离经验的过程中,分解成多个不起眼的分支,最终局面有可能是变得支离破碎、杂乱无章,这相当危险。换句话说,在远离经验的哺乳,或者说“抽象研究”大量“近亲繁殖”之后,数学将面临堕落的危险。

 

很多人恐惧数学是因为被学校的那些数学题打蒙了。但不要把应试数学和应用数学思想混为一谈,在真实世界中,用数学思想思考问题,绝大多数情况下用不到复杂的计算技能。

就认识世界而言,数学应是一个思考工具,表达工具,而不是计算工具。

 

如保罗·洛克哈特在《一个数学家的叹息》中所言:

数学的本质是表达的艺术。数学是在我们并不完美的生活基础上,一种抽象的完美的表达方式,而我们在不完美的世界中,想要应用数学公式时发现对不上号,便不会去用了。

 

伯特兰·罗素在《数学研究》中说

学习数学的精髓时,不能只抱着应付差事的心理,而应该把这些知识融入日常思维,并通过各种激励手段,使它们反复出现在你的脑海里。

 

亚伯拉罕•瓦尔德(Abraham Wald)的一个故事能精彩地演绎这个过程:

在第二次世界大战期间,美国军方在哥伦比亚大学建立了一个秘密研究小组,叫统计研究小组,它的任务是组织美国的统计学家为打赢二战服务。小组中牛人无数,但是天赋最高是一位叫亚伯拉罕•瓦尔德的数学家。

这时候问题来了,美国军方为了不让自己的飞机被敌人的战斗机击落,需要给飞机装上装甲。但是装甲会增加飞机的重量,这样飞机的机动性就会减弱,还会消耗更多的燃油。所以,问题就是,怎样在防御性能和飞行性能之间找一个平衡点,在哪里加强装甲防护是最合适的。

军方为数学家提供了很多数据,美军飞机跟敌机交火后会留下很多弹孔。军方发现机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多。因此,军方认为,最应该加强防御的是飞机的机身。

瓦尔德给出的答案与军方的想法大不一样。瓦尔德认为,需要加装甲的地方不应该是弹孔多的部位,而是弹孔少的部位,也就是飞机的引擎。

为什么会是这样的呢?从理论上讲,飞机各个部位中弹的概率是一样的。那么为什么返航的飞机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢?也就是说,引擎上本来应该有的弹孔去哪儿了?瓦尔德认为,这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了,回来的飞机,机身上尽管留下了很多弹孔,却仍然能经住打击,所以才能安全回航。

数学家将其称之为“幸存者偏差”,也就是说,你只看到幸存下来的,却没有看到那些已经死亡的。

瓦尔德运用这些简单-深奥的数学知识,就像戴上一副X射线眼镜通过现实世界错综复杂的表面现象看清本质。

 

6

数学是为了人类自身的生存而发展出的能力。

自然界是复杂而充满未知的。我们周围的环境变化莫测:什么时候会被袭击,什么时候去捕猎,遇到危险怎样找到最快的路径逃跑?哪里最有可能找到食物?

其实我们无时无刻都在用数学计算,只不过有时是不自知的。比如你在开车的时候,大脑就进行了非常复杂的数学计算。我们用数学来预测自己可能会遇到什么,再通过跟现实的碰撞,不停的修正,重新预测。

数学的运算模式可以帮助我们在物理世界活下来,但这并不意味着发生在我们脑海里的计算一直是对的。

基思•斯坦诺维奇与其长期合作者理查德•韦斯特提出了著名的“双系统理论”:

  • 系统1就像大脑的自动反应模式,系统1的运行是无意识且快速的,不怎么费脑力,没有感觉,完全处于主控制状态。
  • 系统2将注意力转到需要费脑力的大脑活动上来,例如复杂的计算,理性思考,系统2的运行通常与行为、选择和专注等主观体验相关联。

人大部分时间都在使用系统1思考,很少使用系统2思考。

萧伯纳说:大多数人,每年最多思考两三次。

300年前,在著名的南海泡沫事件中,人类有史以来最聪明的天才之一,牛顿,亏掉了两万英镑,据说相当于现在的一亿美金。

牛顿曾因而感叹:“我能算准天体的运行,却无法预测人类的疯狂。”

数学锻炼的就是用系统2思考的能力,用理性来审视世界。

 

查理•芒格说:

如果你没有把这些基本的,但有些不那么自然的基础数学概率方法变成你生活的一部分,那么在漫长人生中,你们将会像一个踢屁股比赛中的独腿人。

 

让我们来做一道题感受一下:

 

假设有一个女性叫琳达(Linda),31岁,单身,一位直率又聪明的女性,主修哲学。在学生时代,他对歧视问题和社会公正问题较为关心,还参加了反核示威游行。

请你根据这些情况,评估一下对琳达的种种描述之中,各自的可能性大小,并给排个名:

1)琳达是个小学老师

2)琳达在书店工作,她还在学瑜伽

3)琳达积极参加女权运动

4)琳达是妇女选民联盟成员

5)琳达是银行出纳

6)琳达是保险推销员

7)琳达是银行出纳,还积极参与女权运动。

 

我对你的具体排序并不太感兴趣,我关心的是以下两个选项是如何排列的:

5)琳达是银行出纳

7)琳达是银行出纳,还积极参与女权运动

实验结果是:几乎所有受试者都认为「琳达是银行出纳,还积极参与女权运动」的可能性比「琳达是个银行出纳员」要高。

对于任何概率,同等情况下条件越多概率越小。他们都忽略了概率中集合论的基本问题:两个集的交集不可能大于其中任何一个集。

这个就是著名的“琳达问题”,如果你答错了,也不要自责,斯坦福大学决策科学专业的博士研究生,也有85%的人答错。

 

再来一题(来自《黑天鹅》):

塔勒布在投资研讨会说:“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高,上涨概率大概70%。”但他却大量卖空标准普尔500指数期货,赌市场会下跌。他的意见是:市场上涨的可能性比较高(我看好后市),但最好是卖空(我看坏结果),因为万一市场下跌,它可能跌幅很大。

 

分析如下:假使下个星期市场有70%的概率上涨,30%的概率下跌。但是如果上涨只会涨1%,下跌则可能跌10%。未来预期结果是:70%×1%+30%×(-10%=-2.3%,因此应该赌跌,卖空股票盈利的机会更大。

如芒格所言,巴菲特每天做的,都是算这个简单数学问题。与其说是一种数学能力,不如说是一种思维模式。知道容易,做到极难。

概率有时候显得“反直觉”。

坚信概率,坚持按照优势概率下注,哪怕违反直觉,哪怕屡屡受挫也不更改人生下注的原则,这就是赢家的秘密。

数学教会我们的一个基本道理:用理性战胜本能!

克莱因说:数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完美的程度。

旧石器时代的智人学会了利用石头工具,轴心时代的新人类学会了一种理性工具。数学工具就好比旧石器时代的石头工具。

有一次,我在网上看到一个问题大概是“有哪些让你感叹「写出这种句子的人,我十辈子都追不上了」的句子?”。

我想起了约翰·纳什的那句话:

“从精神病人回归为一个理性人的快乐,和身体有病然后恢复健康的快乐还是不能相比的。”

 

 

 

网友评论

  • 网友:壮  于 2018-10-10 10:29:59 发表评论  
    cyka blyat
  • 网友:gwfxwsw  于 2018-09-27 19:05:18 发表评论  
    我爱数学
  • 网友:gwfxyhl  于 2018-09-21 09:10:23 发表评论  
    看完。受益,希望以后教科室多推荐一些这样实用有分量的文章。
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